2023年考研数学复习指导:两角和差公式总结




2023年考研数学复习指导:两角和差公式总结

本文为正在准备考研的同学们整理归纳了2023年考研数学复习指导:两角和差公式总结,希望对大家复习有所帮助。

2023年考研数学复习指导:两角和差公式总结

  两角和差公式:

  1、两角和与差的三角函数公式:

  sin(&alpha+&beta)=sin&alphacos&beta+cos&alphasin&beta

  sin(&alpha-&beta)=sin&alphacos&beta-cos&alphasin&beta

  cos(&alpha+&beta)=cos&alphacos&beta-sin&alphasin&beta

  cos(&alpha-&beta)=cos&alphacos&beta+sin&alphasin&beta

  tan(&alpha+&beta)=(tan&alpha+tan&beta)/(1-tan&alphatan&beta)

  tan(&alpha-&beta)=(tan&alpha-tan&beta)/(1+tan&alpha·tan&beta)

  2、二倍角公式:

  二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

  sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha

  cos2&alpha=cos^2(&alpha)-sin^2(&alpha)=2cos^2(&alpha)-1=1-2sin^2(&alpha)

  tan2&alpha=2tan&alpha/[1-tan^2(&alpha)]

  3、半角公式:

  半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

  sin^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/2

  cos^2(&alpha/2)=(1+cos&alpha)/2

  tan^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/(1+cos&alpha)

  另也有tan(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/sin&alpha=sin&alpha/(1+cos&alpha)

  4、实用公式:

  sin&alpha=2tan(&alpha/2)/[1+tan^2(&alpha/2)]

  cos&alpha=[1-tan^2(&alpha/2)]/[1+tan^2(&alpha/2)]

  tan&alpha=2tan(&alpha/2)/[1-tan^2(&alpha/2)]

  实用公式推导:

  附推导: sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha=2sin&alphacos&alpha/(cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha))……

  (因为cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha)=1)

  再把分式上下同除cos^2(&alpha),可得sin2&alpha=2tan&alpha/(1+tan^2(&alpha))

  然后用&alpha/2代替&alpha即可。

  同理可推导余弦的实用公式。正切的实用公式可过正弦比余弦得到。

  5、三倍角公式:

  三倍角的正弦、余弦和正切公式:

  sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

  cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

  tan3&alpha=[3tan&alpha-tan^3(&alpha)]/[1-3tan^2(&alpha)]

  三倍角公式推导:

  附推导:

  tan3&alpha=sin3&alpha/cos3&alpha

  =(sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha)/(cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha)

  =(2sin&alphacos^2(&alpha)+cos^2(&alpha)sin&alpha-sin^3(&alpha))/(cos^3(&alpha)-cos&alphasin^2(&alpha)-2sin^2(&alpha)cos&alpha)

  上下同除以cos^3(&alpha),得:

  tan3&alpha=(3tan&alpha-tan^3(&alpha))/(1-3tan^2(&alpha))

  sin3&alpha=sin(2&alpha+&alpha)=sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha

  =2sin&alphacos^2(&alpha)+(1-2sin^2(&alpha))sin&alpha

  =2sin&alpha-2sin^3(&alpha)+sin&alpha-2sin^3(&alpha)

  =3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

  cos3&alpha=cos(2&alpha+&alpha)=cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha

  =(2cos^2(&alpha)-1)cos&alpha-2cos&alphasin^2(&alpha)

  =2cos^3(&alpha)-cos&alpha+(2cos&alpha-2cos^3(&alpha))

  =4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

  即

  sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

  cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

  三倍角公式联想记忆:

  记忆方法:谐音、联想

  正弦三倍角:3元减4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”))

  余弦三倍角:4元3角减3元(减完之后还有“余”)

  Ps:注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

  另外的记忆方法:

  正弦三倍角:山无司令(谐音为三无四立)三指的是”3倍”sin&alpha,无指的是减号,四指的是”4倍”,立指的是sin&alpha立方

  余弦三倍角:司令无山与上同理

  6、和差化积公式

  三角函数的和差化积公式

  sin&alpha+sin&beta=2sin[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]

  sin&alpha-sin&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]

  cos&alpha+cos&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]

  cos&alpha-cos&beta=-2sin[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]

  三角函数的积化和差公式:

  sin&alpha·cos&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)+sin(&alpha-&beta)]

  cos&alpha·sin&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)-sin(&alpha-&beta)]

  cos&alpha·cos&beta=0.5[cos(&alpha+&beta)+cos(&alpha-&beta)]

  sin&alpha·sin&beta=-0.5[cos(&alpha+&beta)-cos(&alpha-&beta)]

  和差化积公式推导:

  附推导:

  首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

  我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

  所以,sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  同理,若把两式相减,就得到cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

  所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

  所以我们就得到,cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  同理,两式相减我们就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

  sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。

  我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

  把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)

以上为“2023年考研数学复习指导:两角和差公式总结”内容,祝大家考试顺利,取得优异的考试成绩。

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